JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯ পিথাগোরাসের উপপাদ্য (12-23) Part 2

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ

 JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯ পিথাগোরাসের উপপাদ্য (1-11) Part 1

১২. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1:1:√2 হলে এর বৃহত্তম কোনটির মান কত?

ক) 80⁰     খ) 90⁰     গ) 100⁰     ঘ) 120⁰

উত্তরঃ খ

১৩. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 5⁰ হলে ক্ষুদ্রতম কোনটির মান কত?

ক) 40⁰      খ) 42.5⁰      গ) 47.5⁰       ঘ) 50⁰

উত্তরঃ খ

১৪. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ x একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি y একক হলে ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?

ক) x²+y²    খ) √(x²+y²)   

গ) √(x²-y²)    ঘ) x²-y²

উত্তরঃ গ

১৫. পরিমাপটির কোন পরিমাপের জন্য একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

ক) 4, 4, 5    খ) 5, 12, 13

গ) 8, 10, 12    ঘ) 2, 3, 4

উত্তরঃ খ

১৬. △ABC এ ∠A=১ সমকোণ হলে এর

i. অতিভুজ BC

ii. ক্ষেত্রফল=½.AB.AC

iii. BC²=AB²+AC²

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) I ও ii     খ) I ও iii    গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

১৭. সমকোণী ত্রিভুজের-

i. বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ

ii. ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান।

iii. সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) I ও ii     খ) I ও iii    গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

#নিচের চিত্রের আলোকে ১৮, ১৯ ও ২০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

চিত্রে ∠A=90⁰

১৮.  PQ এর দৈর্ঘ্য কত সেমি?

ক) 6    খ) 6.5    গ) 7     ঘ) 9.5

উত্তরঃ খ

১৯. △ABC=কত বর্গ সেমি?

ক) 39    খ) 32.5    গ) 30    ঘ) 15

উত্তরঃ গ 

২০. △APQ এর পরিসীমা কত সেমি?

ক) 15    খ) 12.5    গ) 10    ঘ) 7.5

উত্তরঃ ক

২১. ABCDE বহুভুজে AE।।BC, CF⊥AE এবং DQ⊥CF.  ED=10 মিমি. EF=2 মিমি. BC=8 মিমি. AB=12 মিমি.

উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের (১-৪) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(১) ABCF চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিমি?

ক) 64     খ) 96    গ) 100    ঘ) 144

উত্তরঃ খ

(২) নিচের কোনটি FPC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে?

ক) 32 বর্গ মিমি খ) 48 বর্গ মিমি গ) 72 বর্গ মিমি ঘ) 60 বর্গ মিমি

উত্তরঃ খ

(৩) CD-এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটিতে প্রকাশ পায়?

ক) 2√2 মিমি    খ) 4মিমি    গ) 4√2 মিমি     ঘ) 8 মিমি

উত্তরঃ ক

(৪) নিচের কোনটিতে △FPC ও △DQC এর ক্ষেত্রফলের অন্তর নির্দেশ করে?

ক) 46 বর্গ মিমি    খ) 48 বর্গ মিমি    গ) 50 বর্গ মিমি   ঘ) 52 বর্গ মিমি

উত্তরঃ ক

২২.

ক. PQST কী ধরনের চতুর্ভুজ? স্বপক্ষে যুক্তি দাও।

সমাধানঃ

PQST চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম। কারণ PQST চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু PQ ও TS বাহুদ্বয় সমান্তরাল এবং অপর বিপরীত PT ও QS বাহুদ্বয় অসমান্তরাল।

খ. দেখাও যে, △PRT সমকোণী।

সমাধানঃ

△PQR ও △RST এ

PQ=RS=b, QR=ST=a এবং ∠PQR=∠RST=90⁰

∴ △PQR≅△RST

তাহলে, PR=RT=c এবং ∠QPR=∠TRS.

আবার, PC⊥QS এবং TS⊥QS বলে, PQ।।TS.

সুতরাং, PQST একটি ট্রাপিজিয়াম।

এখন, ∠PRQ+∠QPR=∠RTS+∠TRS=এক সমকোণ।

∴ ∠PRT=এক সমকোণ। সুতরাং, △PRT সমকোণী ত্রিভুজ।  

গ. প্রমাণ কর PR²=PQ²+QR²

সমাধানঃ

PQST ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= △PQR এর ক্ষেত্র+△RST এর ক্ষেত্র+△PRT এর ক্ষেত্র

বা, ½QS(PQ+TS)=½.ab+½.ab+½c²

বা, ½.(QR+RS)(PQ+TS)=½(2ab+c²)

বা, ½.(a+b)(b+a)= ½(2ab+c²)

বা, a²+2ab+b²=2ab+c²

বা, a²+b²=c²

বা, c²=b²+a^2প

∴ PR²=PQ²+QR² (প্রমাণিত)        

২৩. △PQR এ ∠P=90⁰, PQ এবং PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N।

ক. ত্রিভুজটি আঁক।

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিভুজের চিত্র নিন্মরূপঃ

খ. চিত্র থেকে প্রমাণ কর যে, PR²+PQ²=QR².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, PQR এ ∠P=90⁰। প্রমাণ করতে হবে যে, PR²+PQ²=QR².

অঙ্কনঃ

PQ কে S পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন QS=PR হয় এবং S বিন্দুতে ST  লম্ব আঁকি যেন ST=PQ হয়। Q, T; T, R যোগ করি।

প্রমাণঃ

△PQR ও △QST এর মধ্যে,

PQ=ST; PR=QS

∠RPS=∠QST=90⁰

△PQR ≅ △QST

∴ RS=QT এবং ∠PRS=∠TQS.

অতএব, ∠PRQ+∠RQP=∠SQT+∠QTS=90⁰

∴ RQT=90⁰

অতএব, △RQT সমকোণী ত্রিভুজ।

এখন, RP⊥PS ও TS⊥PS; তাহলে RS।।TS.

∴ PSTR একটি ট্রাপিজিয়াম।

PSTR ট্রাপিজিয়াম এর ক্ষেত্রফল=△PQR এর ক্ষেত্রফল+△QST এর ক্ষেত্রফল+△RQT এর ক্ষেত্রফল

বা, ½PS(PR+ST)= ½.PR.PQ+ ½.QS.ST+ ½.RQ.QT

বা, ½.(PQ+QS)(PR+ST)= ½.PR.PQ+ ½.PR.PQ+ ½.RQ.RQ [সর্বসমতা থেকে প্রাপ্ত তথ্য হতে]

বা, ½.(PQ+PR)(PR+PQ)= ½.PR.PQ+ ½.PR.PQ+ ½.RQ²  [সর্বসমতা থেকে প্রাপ্ত তথ্য হতে]

বা, (PQ+PR)²=PR.PQ+PR.PQ+RQ²

বা, (PQ+PR)²=2.PR.PQ+RQ²

বা, PQ²+PR²+2.PR.PQ =2.PR.PQ+RQ²

বা, PQ²+PR²=RQ² [প্রমাণিত]

গ. প্রমাণ কর 5RQ²=4(RM²+NQ²)

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △PQR এ ∠P=90⁰, PQ এবং PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N।প্রমাণ করতে হবে যে 5RQ²=4(RN²+QM²)

অঙ্কনঃ

Q, N ও R, M যোগ করি।

প্রমাণঃ

△PQR এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

RQ²=PR²+PQ²……..(i)

△PMR-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

RM²=PR²+PM²

বা, RM²=PR²+ (½PQ)² [M, PQ এর মধ্যবিন্দু বলে]

বা, RM²=PR²+ ¼PQ²

বা, 4RM²=4PR²+PQ² [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]……….(ii)    

△PQN-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

NQ²=PQ²+NP²

বা, NQ²=PQ²+ (½PR)² [N, PR এর মধ্যবিন্দু ]

বা, NQ²=PQ²+ ¼PR²

বা,  4NQ²=4PQ²+PR²  [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]……….(iii)

(ii)+(iii) করে পাই,

4RM²+ 4NQ²=4PR²+PQ²+4PQ²+PR²  

বা,  4(RM²+NQ²)=5PQ²+5PR²

বা,  4(RM²+NQ²)=5RQ²  [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, 5RQ²=4(RM²+NQ²) [প্রমাণিত]

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।